Question

設平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函數關系式s=f（t）；
（2）在（1）的條件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）實數k在什么范圍內取值時？對該范圍內的每一個確定的k值，存在唯一的實數t，使

x

•

y

=2-s．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，若

x

⊥

y

，則

x

•

y

=0，代入整理可得函數關系式s=f（t）；
（2）令k=3，可得s=t³-3t，則s'=3t²-3，分析函數的單調性可得t∈[-2，3]時，s的最大值．
（3））由已知可得

x

•

y

=2-s，故-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，分別分析當t=0時和當t≠0時，等式成立的條件，可得結論．

解答：解：（1）∵設平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
又∵

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，
當

x

⊥

y

時，

x

•

y

=0
即[

a

+(t2-k)

b

]•[-s

a

+t

b

]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0⇒t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上遞增，（-1，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值為18                                     …（10分）
（3）∵

x

•

y

=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
當t=0時，等式不成立；
當t≠0時，k=t2-

2

t

，k′=2t+

2

t2

=

2(t3+1)

t2

=0⇒t=-1
k（t）在（-∞，-1）上遞減，（-1，0）上遞增，（0，+∞）遞增，
結合圖象可知k＜3時符合要求．…（16分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，導數法判斷函數的單調性，導數法求函數在定區間上的最值，其中根據平面向量的數量積運算公式，求出s關于變量t函數的解析式，是解答本題的關鍵．