Question

已知橢圓過點，且離心率。

（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為
（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）設出橢圓的方程，結合離心率公式和點的坐標得到a,b的關系式，進而求解得到方程。
（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理表示出根與系數的關系，結合斜率狗狗是得到m,k的表達式，進而結合判別式得到范圍。
解：（Ⅰ）離心率，，即（1）；
又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，，
橢圓方程為。-------4分
（Ⅱ）設，弦MN的中點A
由得：，------------6分
直線與橢圓交于不同的兩點，
，即……（1）--------8分
由韋達定理得：，
則，-------------10分
直線AG的斜率為：，
由直線AG和直線MN垂直可得：，即，----12分
代入（1）式，可得，即，則---14分
考點：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的運用。
點評：解決該試題的關鍵是能夠利用橢圓的幾何性質準確表述出a,b,c的關系式及而求解得到橢圓方程，同時聯立方程組，結合韋達定理是我們解析幾何的常用的解題方法。