Question

（2008•臨沂二模）已知函數f(x)=

m-2cosx

sinx

，若f（x）在(0，

π

2

)內單調遞增，則實數m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，2]

B．（-∞，2）

C．[2，+∞）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，由f（x）在(0，

π

2

)內單調遞增得其導函數在x∈(0，

π

2

)內大于等于0恒成立，分離變量后可求實數m的取值范圍．

解答：解：由f(x)=

m-2cosx

sinx

，得
f′(x)=

(m-2cosx)′sinx-(m-2cosx)(sinx)′

sin2x

=

2sin2x+2cos2x-mcosx

sin2x

=

2-mcosx

sin2x

．
要使f（x）在(0，

π

2

)內單調遞增，則
2-mcosx≥0在x∈(0，

π

2

)內恒成立，
即m≤

2

cosx

在x∈(0，

π

2

)內恒成立，
因為在x∈(0，

π

2

)內

2

cosx

＞2，
所以m≤2．
故選A．

點評：本題考查了函數的單調性與導函數之間的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用分離變量法求函數的最值，是中檔題．