Question

沿著正四面體OABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2、3的三個力f₁、f₂、f₃．試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：要求試求此三個力的合力的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦．我們要結合向量模的求法及向量夾角的求法，由于本題中沒有坐標，故求向量的模時，我們可以利用向量模的平方等于向量的平方來處理，而要注夾角的余弦值，則可以根據夾角公式，求出兩個向量的數量積再除以兩個向量的模即可求解．
解答：解：用、、分別代表棱、、上的三個單位向量，則₁=，₂=2，₃=3，則=₁+₂+₃=+2+3，
∴||²=（+2+3）•（+2+3）
=||²+4||²+9||²+4•b+6•+12•
=1+4+9+4||||cos＜，＞+6||||cos＜，＞+12||||cos＜，＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴||=5，即所求合力的大小為5，
且cos＜，＞====．
同理，可得cos＜，＞=，cos＜，＞=．
點評：若θ為與的夾角，則cosθ=，這是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟練掌握．