Question

在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，且點A(4，  0)，  C(1，  

3

)．
（1）求∠ABC的大小；
（2）設點M是OA的中點，點P在線段BC上運動
（包括端點），求

OP

•

CM

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量坐標的求法，求出邊OA，OC對應的向量的坐標，利用向量的數量積公式求出∠AOC，根據平行四邊形的對角相等，得到∠ABC的大小．
（2）根據p在平行于x軸的邊上，設出其坐標，求出線段OP，CM對應的向量的坐標，利用向量的數量積公式求出

OP

•

CM

，根據一次函數的單調性求出取值范圍．

解答：解：（1）由題意得

OA

=(4，  0)，  

OC

=(1，  

3

)，
因為四邊形OABC是平行四邊形，
所以 cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

4

4×2

=

1

2

．
于是∠ABC=

π

3

．
（2）設P(t，  

3

)，其中1≤t≤5．
于是

OP

=(t，  

3

)，而

CM

=(2，  0)-(1，  

3

)=(1，  -

3

)，
所以

OP

•

CM

=(t，  

3

)•(1，  -

3

)=t-3．
故

OP

•

CM

的取值范圍是[-2，2]．

點評：求兩個向量的夾角問題，一般先利用向量數量積的坐標形式的公式求出兩個向量的數量積，再利用數量積的模、夾角形式求出夾角余弦，注意向量夾角的范圍，求出向量的夾角．