Question

任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，則f（x）稱為[a，b]上的凸函數．下列函數中①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

在其定義域上為凸函數是（　　）

A．①②

B．②③

C．②③④

D．②④

Answer 1

分析：由凸函數的概念，得出凸函數的幾何特征，根據幾何特征可作出四個函數①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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2

的圖象，觀察圖象即可得到答案．

解答：解：根據題意：任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，f（x）稱為[a，b]上的凸函數知：
在函數y=f（x）的圖象上任取不同的兩點A、B，線段AB（端點除外）總在f（x）圖象的上方，則函數f（x）為凸函數，
分別作出四個函數的圖象，如圖所示．
∴觀察②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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2

在其定義域上的圖象，滿足凸函數的概念，
∴即②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

是凸函數．
故選C．

點評：本題考查函數的圖象，關鍵在于作出符合凸函數的概念的函數圖象，考查數形結合的思想，屬于基礎題．