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已知圓M：(x+)2+y2=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足=2，=0．

(1)求點C的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直線J的方程；若不存在，試說明理由．

解：(1)Q為PN的中點且GQ⊥PNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故C點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=3，半焦距c=，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是=1

(2)因為，所以四邊形OASB為平行四邊形．若存在l使得，則四邊形OASB為矩形

∴=0，

若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，

由得

∴=＞0，與=0矛盾，故l的斜率存在．

設l的方程為y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)

由(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0

∴x1+x2=，x1x2=①

y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]

k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=②

把①，②代入x1x2+y1y2=0得k=±

∴存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+
3
2
x)2+y2=
9r2
4
，點N（3r，0），其中r＞0，設P是圓上任一點，線段PN上的點Q滿足
PQ
QN
=
1
2

（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若點Q對應曲線與x軸兩交點為A，B，點R是該曲線上一動點，曲線在R點處的切線與在A，B兩點處的切線分別交于C，D兩點，求AD與BC交點S的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+
5
)2+y2=36，定點N(
5
，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+
5
)2+y2=36，定點N（
5
，0），點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作斜率為k的直線l，與曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在這樣的直線l，使得
OA
•
OB
≤-1？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：(x+)2+y2=36,定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足=0.

(1)(理22(1)文21(1))求點G的軌跡C的方程；

(2)(理22(2))過點(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由.

(文21(2))直線l的方程為l:3x-2y-6=0，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，且，求證：四邊形OASB為矩形.

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