如圖，在三棱錐
中，
，
，D為AC的中點，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題主要以三棱錐為幾何背景考查線線垂直、平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據已知條件，取
中點
，連結
，得出
，再利用，根據線面垂直的判定證出
平面
，從而得到垂直平面內的線
，再利用為中位線，得出
平面
，最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面；第二問，由第一問知
兩兩互相垂直，所以建立空間直角坐標系，得出點
，以及
坐標，利用已知先求出平面
與平面
的法向量，再利用夾角公式求出夾角的余弦值.
試題解析：（Ⅰ）取中點為，連結，
．
因為
，所以
．
又，
，所以平面，
因為
平面，所以
． 3分
由已知，
，又
，所以
，
因為
，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，兩兩互相垂直．
以為坐標原點，
的方向為
軸的方向，
為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系
．
由題設知
，
，
，
．
則
，
，
．
設
是平面的法向量，則
即
，可取
． 9分
同理可取平面的法向量
．
故
． 11分
所以二面角的余弦值為． 12分
考點：1.線面垂直的判
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的正方形，
，
，且
．
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）棱
上是否存在一點
，使直線
與平面
所成的角是
？若存在，求
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知:如圖，等腰直角三角形
的直角邊
，沿其中位線
將平面
折起，使平面⊥平面
，得到四棱錐
，設
、
、
、
的中點分別為
、
、
、
.
（1）求證：、、、四點共面；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求異面直線與
所成的角.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，在四棱錐
中，底面四邊形
是菱形，
,
是邊長為2的等邊三角形，
,
.
（Ⅰ）求證：
底面；
（Ⅱ）求直線
與平面
所成角的大小；
（Ⅲ）在線段
上是否存在一點
，使得
∥平面
？如果存在，求
的值，如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且
，點C為圓O上一點，且
．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．
（1）求證：
平面
；
（2）求點
到平面
的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在長方體
中，
為線段
中點．
（1）求直線
與直線
所成的角的余弦值；
（2）若
,求二面角
的大小；
（3）在棱
上是否存在一點
,使得
平面
？若存在，求
的長；若不存在,說明理由．
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中，
平面
，
.
；
分別為
的中點，點
為△
內一點，且滿足
，
∥面
；
，
，求二面角
的余弦值．
的底面是正方形，
⊥平面
，
；
的大小.
中,
⊥面
,
為線段
上的點.
⊥面
; 
與
所成的角的正切值;
,求
的值.