Question

已知M＞-3，設命題p：曲線

x2

2

+

y2

m+3

=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：當0＜x＜2時，函數f（x）=x+

1

x

＞m恒成立．
（Ⅰ） 若“p∧q”為真命題，求m的取值范圍；
（Ⅱ） 若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：先化簡命題p、q，（Ⅰ）根據“p∧q”為真命題，則命題p、q皆為真命題，即可求出；
（Ⅱ）由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p與q必有一個為真，一個為假，據此即可求出．

解答：解：∵m＞-3，命題p：曲線

x2

2

+

y2

m+3

=1表示焦點在y軸上的橢圓，∴m+3＞2，解得m＞-1．
∵m＞-3，命題q：當0＜x＜2時，函數f（x）=x+

1

x

＞m恒成立．∴m＞-3，m＜[f（x）]_min．
∵f′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，∴x∈（0，1）時，f^′（x）＜0；x∈（1，2）時，f^′（x）＞0．故在x=1處取得最小值，且f（1）=2，
∴-3＜m＜2．
（Ⅰ）∵“p∧q”為真命題，∴

m＞-1 -3＜m＜2

，解得-1＜m＜2，即為m的取值范圍．
（Ⅱ）∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p與q必有一個為真，一個為假．
①若p真q假，則

m＞-1 m≤-3或m≥2

，解得m≥2，即為m的取值范圍．
②若p假q真，則

m≤-1 -3＜m＜2

，解得-3＜m≤-1，即為m的取值范圍．

點評：熟練掌握橢圓的性質及不等式的恒成立問題的解法及“∧”“∨”命題的真假判斷是解題的關鍵．