Question

已知二次函數f（x）=4x²-kx+12．
（1）若函數f（x）在區間[5，+∞）是增函數，求常數k的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜4x的解為1＜x＜3，求常數k的值；
（3）若函數f（x）在區間[5，20]上的最大值為12，求常數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數f（x）的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸右側是增函數，由此可得k的取值范圍；
（2）由f（x）＜4x得，可得一元二次不等式，結合一元二次方程根與系數的關系，可求得k的值；
（3）由于函數f（x）的對稱軸是變化的，要討論對稱軸在區間[5，20]上，還是在區間[5，20]外，根據函數f（x）的增減性寫出最大值，從而求出k的值．
解答：解：（1）∵函數f（x）=4x²-kx+12的圖象是拋物線，且開口向上，對稱軸x=的右側是增函數，故令≤5，解得k≤40，∴k的取值范圍是{k|k≤40}；
（2）由f（x）＜4x得，4x²-kx+12＜4x，整理，得4x²-（k+4）x+12＜0，∵該一元二次不等式的解為1＜x＜3，∴=1+3，∴k=12；
（3）∵二次函數f（x）=4x²-kx+12的對稱軸是x=，令≤5，得k≤40；即當k≤40時，f（x）在[5，20]上是增函數，在x=20處取得最大值f（20）=12，此時k=80，不適合，舍去；
令≥20，得k≥160；即當k≥160時，f（x）在[5，20]上是減函數，且在x=5處取得最大值f（5）=12，此時k=20，不適合，舍去；
令5≤≤20，得40≤k≤160，此時f（x）在[5，20]上的最大值是f（20）=12，或f（5）=12，解得k=80，或k=20（舍去）；
綜上，得k=80．
點評：本題考查了二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題，以及二次函數當對稱軸變化時在閉區間上的最值問題，是高考中的熱點．