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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在數列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N•．
（1）設bn=an-n，求證：數列{bn}是等比數列；
（2）求數列{an}的前n項和Sn．
分析：（1）確定數列{bn}是等比數列，則要證明
bn+1
bn
是個不為0的定值，結合題干條件即可證，
（2）首先根據（1）求出數列{bn}的通項公式，然后根據題干條件求得an=bn+n=4n-1+n，結合等差數列和等比數列的求和公式即可解答．
解答：解：（1）∵
bn+1
bn
=
an+1-(n+1)
an-n
=
4an-3n+1-(n+1)
an-n
=
4(an-n)
an-n
=4，（5分）
且b1=a1-1=1∴bn為以1為首項，以4為公比的等比數列，（7分）
（2）由（1）得bn=b1qn-1=4n-1（8分）∵an=bn+n=4n-1+n，（9分）
∴
Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n)

=
1-4n
1-4
+
n(n+1)
2
=
4n-1
3
+
n(n+1)
2
，（12分）
點評：本題主要考查數列求和和等比關系的確定的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等差和等比數列的性質和求和公式，本題難度一般．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{bn}是等差數列；
（Ⅲ）設cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數列{cn}的前n項和，求使Sn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數列{an}的通項公式an的表達式；
（2）用適當的方法證明你的猜想．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個位數（n∈N*），若數列{an}的前k項和為2011，則正整數k之值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數列{bn}是等差數列；
（2）求{an}的通項公式；
（3）對?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數列；
（Ⅲ）求數列{an}的通項公式an及其前n項和Sn．

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