Question

已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圓C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）判斷直線l和圓C的位置關(guān)系；
（2）若直線l和圓C相交，求相交弦長(zhǎng)最小時(shí)m的值．

Answer 1

（1）∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化簡(jiǎn)得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直線l經(jīng)過(guò)直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn)M（3，1）
又∵（3-1）²+（1-2）²＜25，
∴點(diǎn)E（3，1）在圓C的內(nèi)部，可得直線l和圓C相交；
（2）假設(shè)直線l和圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，由相交弦長(zhǎng)公式|EF|=2

25-d2

，
其中d為圓心C到直線l的距離，
根據(jù)垂徑定理，當(dāng)d最大時(shí)相交弦長(zhǎng)最小，而由（1）知，
直線l過(guò)定點(diǎn)M（3，1），所以dmax=|CE|=

5

，
即CE⊥l，根據(jù)CE的斜率kCE=

2-1

1-3

=-

1

2

，
可得相交弦長(zhǎng)最小時(shí)，l的斜率kl=-

2m+1

m+1

=2，解之得m=-

3

4

．