Question

如圖,(1)若P是邊長為a的正三角形ABC內任意一點,試證明點P到各邊的距離之和為定值.

 (2)若P是棱長均為a的正四面體S—ABC內任意一點,試證明點P到各側面的距離之和為定值.

Answer 1

思路解析：(1)連結PA、PB、PC,將正三角形分割成三個小三角形,利用三角形面積不變即可求得點P到各邊的距離之和為定值.

(2)運用“類比”法進行求解.平面→空間：正三角形→正四面體；面積→體積；分割→分割；內分小三角形→內分小四面體；小三角形一邊長→四面體底面積.于是可將正四面體S—ABC分割成四個以點P為頂點,四個面為底面的小三棱錐.利用正四面體的體積不變求得點P到各側面的距離之和為定值.

(1)證明：設P到各邊的距離分別為m、l、n,則有△ABC的面積等于三個小三角形△APC、△APB、△BPC的面積的和,列式即為

S_△ABC=S_△APC+S_△APB+S_△BPC=al+am+an=a(l+m+n)=a²,

得到l+m+n=a.

(2)解：設P到四面體各面的距離分別為m、l、n、h,則四面體SABC的體積等于四個小四面體P—ABC、P—SBC、P—SAC、P—SAB的體積之和,列式計算即為

V_S—ABC=V_P—ABC+V_P—SBC+V_P—SAC+V_P—SAB=·a²·(l+m+n+h)=a³.

得到l+m+n+h=a.

方法歸納  用等積法求點到平面的距離的步驟：

(1)設距離為h，把h看成某三棱錐的高；

(2)把三棱錐的另一面看成底面，求出體積；

(3)由體積相等求出相應的距離.