Question

如圖所示，已知正三棱錐A―BCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱錐的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

Answer 1

解：解法一：(1)由正三棱錐的性質(zhì)知AC⊥BD．

∵EF//AC，∴EF⊥BD．又FF⊥ED．故EF⊥平面ABD，

即AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD．

    又∵A―BCD為正三棱錐，∴AB⊥AD，

    從而AB=AC=AD=BC=

    設ABCD中心為O，則棱錐高為

AO=

  =

(2)過E作EF⊥BO于H，則EH//AO，即

EH⊥平面BCD。又過H作HG⊥DF于G，

連接EG，則EG⊥DF，故∠HGE為二面角E FD―B的平面角，如圖a所示．

∵EH=AO=，HG=BF=，

∴，

∠EGH=．

解法二：

(1)建立如圖b所示的空間直角坐標系，

則B、C、D坐標為B(0，0，0)、C(，1，0)、D(0，2，0)，

若設棱錐高為h，又A在BCD面上的射影為△BCD中心，

則A的坐標為(，1，h)．

∵E、F 為AB、BC的中點，∴E(，，)，

F(，，0)

∵EF⊥DE，∴

即(，0，)?(,，)=0

∴，

(2)設為平面DEF的法向量，則

即

令z=1，則m=(，，1)．

又平面BCD的法向量為n=(0，0，1)，由m、n的方向知，

當二面角E―FD―B設為時，cos=，