Question

已知指數函數y=g（x）過點（1，3），函數f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

是R上的奇函數．
（I）求y=g（x）的解析式；
（II）求n的值并用定義域判定y=f（x）的單調性；
（III）討論關于x的方程xf（x）=m的解的個數．

Answer 1

分析：（I）根據指數函數y=g（x）滿足：g（1）=3，即可求出y=g（x）的解析式；由題意知f（0）=0，解方程組即可求出n的值，即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據指數函數的圖象和性質，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義可判斷y=f（x）在R上的單調性；
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，對字母m進行分類討論，分別考察左右兩邊函數的圖象的交點個數即可得出答案．

解答：解：（I）設g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（1）=3得a=3，故g（x）=3^x，…（2分）
∵函數f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

=

-3x+n

3x+1

是奇函數
∴f（0）=

-30+n

30+1

=0
∴n=1；
∴f（x）=

-3x+1

3x+1

（II）f（x）=

-3x+1

3x+1

在（-∞，+∞）上為減函數，理由如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

-3x1+1

3x1+1

-

-3x2+1

3x2+1

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，
分別考察左右兩邊函數的圖象，
當m＞0時，兩圖象沒有交點，即方程xf（x）=m的解的個數為0；
當m=0時，兩圖象有一個交點，即方程xf（x）=m的解的個數為1；
當m＜0時，兩圖象有兩個交點，即方程xf（x）=m的解的個數為2；

點評：本題考查的知識點：待定系數法求指數函數的解析式，函數的奇偶性和函數單調性的性質，方程的根與函數零點的關系，是函數問題的簡單綜合應用，難度中等．