Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，且經過橢圓的右焦點，記橢圓的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，求e的值；
（2）是否存在這樣的e，使得原點O關于直線l對稱的點恰好在橢圓C上？若存在，請求出e的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出橢圓的右焦點，進而可設直線方程，利用直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，可得一方程，利用橢圓的簡單性質a²=b²+c²，根據離心率公式即可求出e的值；
（2）假設存在這樣的e，使得原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上，不妨設方程為x-my-c=0，從而利用原點O關于直線的對稱點在橢圓上，即可求解．
解答：解：（1）設橢圓的右焦點為（c，0），，則直線的方程為
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線
∴
∴
∴
（2）假設存在這樣的e，使得原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上，不妨設方程為x-my-c=0
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線
∴
設原點O關于直線的對稱點O′（x，y），則
∵O′在橢圓上，代入可得
∴b²=3c²
∴不成立
故不存在這樣的e，使得原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，考查對稱問題，有一定的綜合性．