Question

f（x）是偶函數，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，若x∈[，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：因為偶函數在對稱區間上單調性相反，根據已知中f（x）是偶函數，，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，易得f（x）在（-∞，0）上為減函數，又由若x∈[，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，結合函數恒成立的條件，求出x∈[，1]時f（x-2）的最小值，從而可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：∵f（x）是偶函數，且f（x）在（0，+∞）上是增函數
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數
當x∈[，1]時，x-2∈[，-1]
故f（x-2）≥f（1）
若x∈[，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
則當x∈[，1]時，|ax+1|≤1恒成立
解得-2≤a≤0
故答案為[-2，0]
點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，其中根據已知條件結合偶函數在對稱區間上單調性相反，證得f（x）在（-∞，0）上為減函數，進而給出x∈[，1]時f（x-2）的最小值，是解答本題的關鍵．