Question

如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，則二面角CBFD的正切值為（　　）

• A．

  3

  6

• B．

  3

  4

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

  3

Answer 1

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦，進(jìn)而利用平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可得出．

解答：解：如圖所示，連接AC，AC∩BD=O，連接OF，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OF所在直線為x，y，z距離空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)PA=AD=AC=1，則BD=

3

．
則B(

3

2

，0，0)，F(0，0，

1

2

)，C(0，

1

2

，0)，D(-

3

2

，0，0)．

OC

=(0，

1

2

，0)且為平面BOF的一個法向量，由

BC

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

FB

=(

3

2

，0，-

1

2

)．
設(shè)平面BCF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • BC =- 3 2 x+ 1 2 y=0 n • FB = 3 2 x- 1 2 z=0

，
不妨取x=1，則y=

3

=z．∴

n

=(1，

3

，

3

)．
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n | | OC |

=

21

7

，sin＜

n

，

OC

＞=

2 7

7

，
∴tan＜

n

，

OC

＞=

2 3

3

．
故選D．

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦的方法是解題的關(guān)鍵．