Question

某工廠有舊墻一面長14米，現準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126平方米的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為a元；②修1米舊墻的費用是元;③拆去1米舊墻，用所得的材料建1米新墻的費用為元.經討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段x米（x＜14)為矩形廠房一面的邊長；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.

問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？（1）（2）兩種方案哪個更好？

Answer 1

分析：以建墻費用為目標函數，通過討論函數的最小值來解決本題.

解：設利用舊墻的一面矩形的邊長為x，則矩形的另一面邊長為米.

（1）利用舊墻的一段x米（x＜14為矩形一面邊長，則修舊墻費用為x·元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為（14-x）·元，其余建新墻的費用為（2x+-14）·a元.故總費用為y=·a+·a+(2x+-14)·a=a(+-7)=7a(+-1)(0＜x＜14),

∴y≥7a［2-1］=35a,當且僅當=即x=12米時，y_min=35a.

（2）若利用舊墻的一面矩形邊長為x米（x≥14）,則修舊墻的費用為·14=a元，建新墻的費用為（2x+-14）a元，故總費用為y=a+(2x+-14)a=a+2a(x+-7)(x≥14).

∴y′=2a(1-)=,當x≥14時y′＞0.

∴函數y=a+2a(x+-7)在［14，+∞］上為增函數.故當x=14時，

y_min=a+2a(14+-7)=35.5a.

綜上討論知：采用第（1）方案，利用舊墻12米為矩形的一面邊長時，建墻總費用最省，為35a元.