Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則

1

a

+

2

b

的最小值是（　　）

• A、4

  2

• B、3+2

  3

• C、3+2

  2

• D、4

  2

  -1

Answer 1

分析：由已知中圓的方程x²+y²+2x-4y+1=0我們可以求出圓心坐標，及圓的半徑，結合直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長為4，我們易得到a，b的關系式，再根據基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y+1=0是以（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，
又∵直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦長為4，
故圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0上
即：a+b=1
則

1

a

+

2

b

=

a+b

a

+

2(a+b)

b

=3+（

b

a

+

2a

b

）≥3+2

2

當且僅當b=

2

a時取等號，
故

1

a

+

2

b

的最小值為3+2

2

故選C．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，基本不等式，其中根據已知條件，分析出圓心在已知直線上，進而得到a，b的關系式，是解答本題的關鍵．