Question

已知函數().

(1)當時,求函數的單調區間;

(2)當時,取得極值.

① 若,求函數在上的最小值;

② 求證:對任意,都有.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調增區間為和,單調減區間為 ；（2）①②詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)求導解得或,  解得 ；

(2)①當時,取得極值, 所以解得，對求導，判斷在,遞增,在遞減，分類討論，求出最小值；②通過求導，求出，將恒成立問題轉化為最值問題，對任意,都有.

試題解析：(1)  

當時,                  

解得或,  解得  

所以單調增區間為和,單調減區間為  

(2)①當時,取得極值, 所以 

解得(經檢驗符合題意)   

  

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

所以函數在,遞增,在遞減  

當時,在單調遞減, 

  

當時       

在單調遞減,在單調遞增,  

當時,在單調遞增,  

綜上,在上的最小值

  

②令 得(舍)  

因為  所以  

所以,對任意,都有.

考點：求導，函數單調性，函數最值，恒成立問題.