Question

（2013•哈爾濱一模）已知函數 f（x）=lnx，g（x）=e^x
（1）若函數h（x）=f（x）-

x+1

x-1

，求函數h（x）的單調區間；
（2）設直線l為函數f（x） 的圖象上的一點 A（x₀，f（x₀））處的切線，證明：在區間（0，+∞） 上存在唯一的x₀，使得直線l 與曲線y=g（x） 相切．

Answer 1

分析：（1）求出函數h（x）的導函數，由導函數的符號直接判斷函數h（x）的單調性；
（2）求出函數f（x）和g（x）的導函數，根據函數特點分別在兩函數圖象上找到點(e

n

e

，

n

e

)和點(-

n

e

，

1

e n e

)，求出兩個函數圖象分別在點(e

n

e

，

n

e

)和點(-

n

e

，

1

e n e

)處的切線方程，由兩切線的截距相等能夠說明在區間
（0，+∞） 上存在唯一的x₀，使得兩切線為同一直線，則問題得證．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-

x+1

x-1

=lnx-

x+1

x-1

，定義域：{x|x＞0，且x≠1}．
h′(x)=

1

x

-

(x-1)-(x+1)

(x-1)2

=

1

x

+

2

(x-1)2

=

(x-1)2+2x

x(x-1)2

=

x2+1

x(x-1)2

．
由于x＞0且x≠1，故其在區間（0，1），（1，+∞）內，恒有h′（x）＞0，
所以函數h（x）的單調增區間為（0，1），（1，+∞）；
（2）由f（x）=lnx，所以f′(x)=

1

x

，當x=e

n

e

（n＞0）時，f′(e

n

e

)=

1

e n e

，
故y=f（x）上存在一點(e

n

e

，

n

e

)，過該點的切線方程為
y=

1

e n e

(x-e

n

e

)+

n

e

=

1

e n e

x+

n-e

e

①
g（x）=e^x，g′（x）=e^x，當x=-

n

e

時，g′(-

n

e

)=e-

n

e

=

1

e n e

，
故過y=g（x）上的點(-

n

e

，

1

e n e

)的切線方程為
y=

1

e n e

(x+

n

e

)+

1

e n e

=

1

e n e

x+

1

e n e

•

n+e

e

②
兩條切線①和②的斜率相同，只要它們在y軸上的截距相等，它們就是同一條切線，為此令：

n-e

e

=

1

e n e

•

n+e

e

，得n-e=

1

e n e

(n+e)，即e

n

e

=

n+e

n-e

③
由于③的左邊是關于n的增函數；而其右邊，當n≥3以后，是一個正的假分數，因此是關于n的減函數，
故在區間[3，+∞）內必存在一個實數n，使得③式成立．
這就證明了“在區間（0，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切”．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，解答的關鍵是能夠在兩個曲線上找到符合題意的點，屬中高檔題．