Question

設函數 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe^1－x．
（Ⅰ）若函數 g(x) 的圖象在點 (0,0) 處的切線也恰為 f (x) 圖象的一條切線，求實數   a的值；
（Ⅱ）是否存在實數a，對任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x₀∈[e^－4,e]，使得 f (x₀)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
注：e是自然對數的底數．

Answer 1

解：（1），，所以的圖象在處的切線方程是；2分
設與的圖象切于點，而，
且，解得；  5分
（2），在上單調遞增，在上單調遞減，
且，；      8分
若令，則原命題等價于對于任意，都有唯一的，使得成立．               9分
而，，
①當時，恒成立，所以在上單調遞減，要滿足條件，則必須有，且，無解，所以此時不存在滿足條件的；10分
②當，恒成立，所以在上單調遞減，要滿足條件，則必須有，且，解得，；11分
③當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，
又，要滿足條件，則，解得，
；   12分
④當時，恒成立，所以在上單調遞增，
又，所以此時不存在滿足條件；   13分
綜上有．   15分

略