Question

設定義在D上的兩個函數f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4個命題：
①“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立”的充要條件；
②“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立”的充分不必要條件；
③“a＞d”是“f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立”的充要條件；
④“a＞d”是“f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立”的充分不必要條件．
其中正確的命題是    （請寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：由a為函數f（x）的最小值，d為函數g（x）的最大值，即可判斷出①對②錯；以及a＞d⇒f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，但反之不成立，舉反例f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，x∈[1，2]即可說明③錯④對．
解答：解：因為a為函數f（x）的最小值，d為函數g（x）的最大值．所以a＞d?f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立．
故①對②錯．
且a＞d⇒f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，但f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，不能得出結論a＞d，
比如：f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，在x∈[1，2]上，f（x）-g（x）=x＞0即f（x）＞g（x）恒成立．
但f（x）∈[5，8]，g（x）∈[4，6]，即a=5，d=6，此時a＜d，得不到a＞d．
故③錯④對．
故正確的命題有①④．
故答案為：①④．
點評：本題主要考查函數恒成立問題以及充分條件與必要條件的判定，是對基礎知識的綜合考查，屬于基礎題．