Question

已知函數f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數，e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；(2)若存在x使不等式>成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x₀，我們把|f(x₀)－g(x₀)|的值稱為兩函數在x₀處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

Answer 1

(1) a＝1.(2) (－∞，0)．（3）詳見解析.

試題分析：（1）求出交點，切線平行即導數值相等可解；（2）轉化為新函數，求出導數，利用單調性極值解；（3）構造新函數求導，利用單調性證明.
試題解析：(1)f(x)與坐標軸的交點為(0，a)，f′(0)＝a，g(x)與坐標軸的交點為(a,0)，g′(a)＝.
∴a＝，得a＝±1，又a>0，故a＝1.
(2>可化為m<x－e^x.令h(x)＝x－e^x，則h′(x)＝1－()e^x.
∵x>0，∴＋≥，e^x>1(＋)e^x>1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0，＋∞)上是減函數，因此h(x)<h(0)＝0.    ∴實數m的取值范圍是(－∞，0)．
(3)y＝f(x)與y＝g(x)的公共定義域為(0，＋∞)，|f(x)－g(x)|＝|e^x－lnx|＝e^x－lnx.
令h(x)＝e^x－x－1，則h′(x)＝e^x－1>0.∴h(x)在(0，＋∞)上是增函數．
故h(x)>h(0)＝0，即e^x－1>x.　　　①
令m(x)＝lnx－x＋1，則m′(x)＝－1.
當x>1時，m′(x)<0，當0<x<1時，m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)＝0，因此lnx＋1<x.　　②
由①②，得e^x－1>lnx＋1，即e^x－lnx>2.   
∴函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.