Question

（2008•成都三模）已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，AA₁=AB=AD，E為A₁D₁的中點．給出下列四個命題：①∠BCC₁為異面直線AD與CC₁所成的角；②三棱錐A₁-ABD是正三棱錐；③CE⊥平面BB₁D₁D；④

CE

=-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

．其中正確的命題有

②④

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由異面直線所成的角的定義可判斷①的真假；利用正三棱錐的定義可判斷②的真假；利用直線與平面垂直的定義和向量的數量積運算可判斷③的真假；利用向量加法的三角形法則可判斷④的真假

解答：解：①∵∠BCC₁為120°，而異面直線AD與CC₁所成的角為60°，故①錯誤
②三棱錐A₁-ABD的每個面都為正三角形，故為正四面體，故②正確
④根據向量加法的三角形法則，

CE

=

CB

+

BA

+

AA1

+

A1E

=-

AD

-

AB

+

AA1

+

1

2

A D

=-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

，故④正確
③∵

BD

=

AD

-

AB

，∴

CE

• 

BD

=(-

1

2

AD

-

AB

+

AA1

)•（

AD

-

AB

）=-

1

2

AD

2+

1

2

AD

•

AB

-

AB

•

AD

+

AB

2+

AA1

•

AD

-

AA1

•

AB

=

1

2

AD

2-

1

4

AD

2+

1

2

AD

2-

1

2

AD

2=

1

4

AD

2≠0
∴CE與BD不垂直，故③錯誤
故答案為 ②④

點評：本題考查了異面直線所成的角的定義，直線與平面垂直的定義，正三棱錐的定義，向量加法的三角形法則和數量積運算性質