Question

已知函數f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a=3，求f（x）在區間[1，e²]上值域．

Answer 1

分析：（1）求導函數，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

，令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0），再進行分類討論：當△=a²-8≤0，f′（x）≥0恒成立；當△=a²-8＞0，即a＞2

2

時，根據2t²-at+1＞0，及2t²-at+1＜0，即可確定函數的單調性；
（2）當a=3時，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數，在[2，e²]上是增函數，從而可得函數f（x）在區間[1，e²]上的值．

解答：解：（1）求導函數，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0）
當△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

時，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函數；
當△=a²-8＞0，即a＞2

2

時，
由2t²-at+1＞0得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

∴x＜0或x＞

a+ a2-8

4

或0＜x＜

a- a2-8

4

又由2t²-at+1＜0得

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

，∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

綜上 當0＜a≤2

2

f（x）在（0，+∞）上都是增函數；當a＞2

2

f（x）在(0，

a- a2-8

2

)及(

a+ a2-8

2

，+∞)上都是增函數，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)是減函數．
（2）當a=3時，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數，在[2，e²]上是增函數．
又f(1)=0，f(2)=2-3ln2＜0，f(e2)=e2-

2

e2

-5＞0
∴函數f（x）在區間[1，e²]上的值域為[2-3ln2， e2-

2

e2

-5]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．