Question

（本小題滿分14分）
已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．
（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

解：（1）因為，所以，所以．…………………1分
由及圓的性質，可知四邊形是正方形，所以．
因為，所以，所以．……………3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．…………………………………………………………4分
（2）方法1：因為，
所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為．………5分
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，……………………………………………6分
所以聯立方程組………………………………………………7分
消去，，即得直線的方程為．………………………………………………8分
方法2：設，已知點，
則，．
因為，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因為，所以．……………………………………………………………6分
因為，，根據平面幾何知識可知，．
因為，所以．………………………………………………………………………7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．………………………………………………………………8分
方法3：設，已知點，
則，．
因為，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因為，所以．……6分
這說明點在直線上．…………7分
同理點也在直線上．
所以就是直線的方程．……8分
（3）由（2）知，直線解析