Question

建造一個容積為8 m³.深為2 m的長方體形無蓋水池,如果池底和池壁的造價分別為120 元/m²和80元/m².

(1)求總造價關于一邊長的函數解析式,并指出該函數的定義域;

(2)判斷(1)中函數在(0,2)和［2,+∞)上的單調性并用定義法加以證明;

(3)如何設計水池尺寸,才能使總造價最低.

Answer 1

解析:(1)設一邊長為x,則由該水池容積為8,得另一邊長為,?

總造價y=120·x·+80·(2··2+2·2x)?

=480+320·(+x),x∈(0,+∞).?

(2)任取x₁,x₂∈(0,2)且x₁＜x₂,則?

f(x₁)-f(x₂)=480+320·(+x₁)-480-320·(+x₂)

=320(+x₁--x₂)

=320［+(x₁-x₂)］

=320(x₁-x₂)(1-).

∵x₁,x₂∈(0,2),x₁＜x₂,?

∴＞1,x₁-x₂＜0.?

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.?

∴f(x₁)＜f(x₂).?

∴y=480+320(+x)在(0,2)上是增函數.?

同理可證,y=480+320(+x)在［2,+∞)上是減函數.?

(3)當x=2時,y=480+320(+x)最小,此時造價最低.?

此時=2,當此水池為邊長是2 m的正方體時,造價最低.

答案:(1)y=480+320(x+),x∈(0,+∞);?

(2)單調性略;?

(3)當x=2時,費用最低.