Question

設函數f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數的充要條件是a²＋b²＝0.

Answer 1

證明見試題解析.

試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，.本題充分性是由證明為奇函數，必要性是由為奇函數證明.
試題解析：證明充分性：∵a²＋b²＝0，∴a＝b＝0，       2
∴f(x)＝x|x|                  3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數        6
必要性：若f(x)為奇函數，則對一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8
令x＝0，則b＝－b，∴b＝0，            10
令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0                11
即a²＋b²＝0       12