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如圖，點A、B為橢圓
x2
4
+
y2
2
=1長軸的兩個端點，點M為該橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，直線AM、BM分別與直線l：x=2
2
相交于點P、Q．
（1）若點P、Q關于x軸對稱，求點M的坐標；
（2）證明：橢圓右焦點F在以線段PQ為直徑的圓上．
（1）由題意，a=2，∴A（2，0），B（-2，0）．
設點M的坐標為（x0，y0），則直線AM的方程為y=
y0
x0-2
(x-2)，
令x=2
2
，則P（2
2
，
y0
x0-2
•(2
2
-2)）．
同理，Q（（2
2
，
y0
x0+2
•(2
2
+2)）．
∵點P、Q關于x軸對稱，
∴
y0
x0-2
•(2
2
-2)+
y0
x0+2
•(2
2
+2)=0，
∴x0=
2
，
代入橢圓方程，
∵點M為該橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，
∴y0=1，
∴點M的坐標為（
2
，1）；
（2）證明：∵c=
4-2
=
2
，
∴F（
2
，0)，
∴
FP
•
FQ
=2+
y0
x0-2
•
y0
x0+2
(2
2
-2)(2
2
+2)=
2(x02+2y02-4)
x02-4
，
∵
x02
4
+
y02
2
=1，
∴x02+2y02=0，
∴
FP
•
FQ
=0，
∴
FP
⊥
FQ
，
∴FP⊥FQ，
∴橢圓右焦點F在以線段PQ為直徑的圓上．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓內(nèi)部的一點，則|PF1|+|PF2|的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F到過頂點A（-a，0）、B（0，b）的直線的距離等于
7
7
b，則橢圓的離心率為（　　）
A．
1
2
B．
4
5
C．
7-
7
6
D．
7
7

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線y2=4x的焦點F與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點重合，它們在第一象限內(nèi)的交點為T，且TF與x軸垂直，則橢圓的離心率為（　　）
A．
3
-
2
B．
2
-1		C．
1
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓有一個焦點固定，并通過兩個已知點，且該焦點到這兩個定點不等距．則該橢圓另一個焦點的軌跡類型是（　　）
A．橢圓型B．雙曲線型
C．拋物線型D．非圓錐曲線型

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點在x軸上，一個頂點的坐標是（0，1），離心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1的弦被點（4，-2）平分，則這條弦所在的直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過點F2作與x軸垂直的直線與雙曲線一個交點為P，且∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線的焦距為（    ）．
A．1B．C．3D．

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