Question

（2012•江蘇二模）已知等差數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，若

Sn

Tn

=

7n+45

n+3

，且

an

b2n

是整數(shù)，則n的值為

15

．

Answer 1

分析：在

Sn

Tn

=

7n+45

n+3

中，令n=1可得 a₁=13b₁ ，設(shè)等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，再分別令n=2，3，解得 b₁=2d₂，d₁=7d₂ ，a₁=26d₂．化簡

an

b2n

為

7n+19

2n+1

是整數(shù)，由此可得n的值．

解答：解：由題意可得

a1

b1

=

S1

T1

=

52

4

=13，故 a₁=13b₁．
設(shè)等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，
由

S2

T2

=

a1+a1+d 1

b1+b1 +d 2

=

14+45

2+3

=

59

5

，把 a₁=13b₁ 代入化簡可得 12b₁=59d₂-5d₁ ①．
再由

S3

T3

=

3a1+3d 1

3b1+3d 2

=

21+45

3+3

=11，把 a₁=13b₁ 代入化簡可得 2b₁=11d₂-d₁ ②．
解①②求得 b₁=2d₂，d₁=7d₂．故有 a₁=26d₂．
 由于

an

b2n

=

a1 +(n-1)d 1

b1+ (2n-1)d 2

=

26d2 +(n-1)•7d 2

2d2+ (2n-1)d 2

=

7n+19

2n+1

 為整數(shù)，
∴n=15，
故答案為 15．

點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．