Question

（12分）（1）設x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求證x²＋y²＋z²≥；
（2）設二次函數f (x)＝ax²＋bx＋c（a＞0），方程f (x)－x＝0有兩個實根x₁，x_2，
且滿足：0＜x₁＜x₂＜，若x(0，x₁)。
求證：x＜f (x)＜x₁

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了均值不等式的運用以及二次函數中根與系數的關系的綜合運用。
（1）x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
從而得證。
（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜
∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
綜上可知成立。
解：（1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
∴x²＋y²＋z²≥
（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
另一方面：x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜
∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
綜上可得：x＜f(x)＜x₁