Question

（2008•浦東新區二模）一場特大暴風雪嚴重損壞了某鐵路干線供電設備，抗災指揮部決定在24小時內完成搶險工程．經測算，工程需要15輛車同時作業24小時才能完成，現有21輛車可供指揮部調配．
（1）若同時投入使用，需要多長時間能夠完成工程？（精確到0.1小時）
（2）現只有一輛車可以立即投入施工，其余20輛車需要從各處緊急抽調，每隔40分鐘有一輛車可以到達并投入施工，問：24小時內能否完成搶險工程？說明理由．

Answer 1

分析：（1）先計算每輛車每小時的工作效率，設21輛車同時投入使用需要x小時完工，則21•

1

360

x≥1，即可求出需要多長時間能夠完成工程；
（2）解法一：設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a₁，a₂，…，a₂₁小時，依題意它們組成公差d=-

2

3

（小時）的等差數列，根據

1

2

(a1+a21)•21≥360，求出a₁的范圍，看其是否小于等于24；
解法二：不妨設a₁=24，然后計算

a1

360

+

a2

360

+…+

a21

360

的值是否大于1即可．

解答：解：（1）15輛車同時工作24小時可完成全部工程，
每輛車每小時的工作效率為

1

360

．---------------------------------------------------------（2分）
設21輛車同時投入使用需要x小時完工，則：21•

1

360

x≥1，x≥17.1-----------（5分）
因此需要17.1小時完成任務．
（2）解法一：設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a₁，a₂，…，a₂₁小時-----（6分）
依題意它們組成公差d=-

2

3

（小時）的等差數列，且a₁≤24---------------------------（7分）
則有

a1

360

+

a2

360

+…+

a21

360

≥1-----------（8分）   
 即

1

2

(a1+a21)•21≥360，----------（9分）
化簡可得

1

2

(2a1+20d)≥

360

21

．即a1+10(-

2

3

)≥

120

7

，解得a1≥23

17

21

，由于23

17

21

＜24--（11分）
可見a₁的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內完成．------------------------（12分）
解法二：設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a₁，a₂，…，a₂₁小時，---------（6分）
依題意它們組成公差d=-

2

3

（小時）的等差數列，不妨設a₁=24，---------------------（7分）
由

a1

360

+

a2

360

+…+

a21

360

=

a1+a2+…+a21

360

=

1

720

(a1+a21)•21
=

1

720

(2a1+20d)•21=

91

90

＞1----------------------------------------------------（11分）
即能在24小時內完成搶險任務．------------------------------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查了等差數列的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．