Question

（理）已知函數f(x)=ln(ax+2)+

1

x

（a＞0）
（Ⅰ）若f（x）在x=2處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，然后求出導函數，根據f（x）在x=2處取得極值，則f'（2）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（II）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

（x＞-

2

a

），
∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′(2)=

a

2a+2

-

1

4

=0，得a=1…（3分）
經檢驗，a=1時，f（x）x=2處取得極小值，
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）由f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

＞0及ax+2＞0，a＞0，
整理得

ax2-ax-2＞0(1) x＞- 2 a (2)

由（1）得x＜

a- a2+8a

2a

或x＞

a+ a2+8a

2a

…（7分）
∵a＞0，
∴

a2+8a

＜

a2+8a+16

=a+4
∴-4＜a-

a2+8a

，得-

2

a

＜

a- a2+8a

2a

∴-

2

a

＜x＜

a- a2+8a

2a

或 x＞

a+ a2+8a

2a

…（11分）
∴f（x）的單調遞增區間是：(-

2

a

，

a- a2+8a

2a

)，(

a+ a2+8a

2a

，+∞)…（12分）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、對數函數的定義域、對數函數圖象與性質的綜合應用等知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類討論思想．解答的關鍵是會利用導數研究函數的單調區間．