Question

各項均為正數的等比數列中，
（Ⅰ）求數列通項公式；
（Ⅱ）若等差數列滿足，求數列的前項和。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）求數列通項公式，由題意，是各項均為正數的等比數列，故求出即可，根據，利用等比數列的通項公式，求出公比，從而可得數列的通項公式；（Ⅱ）求數列的前項和，首先確定數列的通項公式，即先確定等差數列的通項公式，由（Ⅰ）知，，利用，可求得，，從而可得，，這是一個等差數列與一個等比數列對應項積所組成的數列，故可利用利用錯位相減法，可求數列的前項和．
試題解析：（Ⅰ）由題意知，q>0,2q+q²=15， 解得q=3(q=-5不合題意舍去)      (2分)
∴a_n=3^n-1                     （4分）
（Ⅱ）設等差數列{b_n}的公差為d,則b₁=3,b₁+2d=9,∴d=3,
b_n=3+3(n-1)=3n       （7分）
a_nb_n=n·3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+(n-1)×3^n-1+n×3ⁿ
3S_n=1×3²+2×3³+…+(n-1)×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹
兩式相減得
-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹                (9分)
=(3ⁿ-1)-n×3ⁿ⁺¹                              （11分）
                             （12分）