Question

已知函數.
（1）判斷奇偶性, 并求出函數的單調區間；
（2）若函數有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）是偶函數，的單調增區間是,;單調減區間是,,
（2）

試題分析：解(1) 定義域在數軸上關于原點對稱,
且,所以是偶函數        2分
當時, ,   
由 , , 解得:  所以在是增函數;
由 , , 解得: .所以在是減函數.    4分
因為是偶函數, 圖象關于軸對稱，所以, 當時, 在是減函數, 在是增函數.
所以, 的單調增區間是,;單調減區間是,,.   6分
(2) 由,得 ,
令                           8分
當時,  ,當, , 在是增函數;
當, , 在是減函數,
所以, 當時,極小值是             11分
因為是奇函數,所以, 當時, 極大值是
所以 ,
即, 函數有零點.            14分
點評：主要是考查了運用導數來判定函數單調性以及函數零點的綜合運用，屬于中檔題。