Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）為R上的減函數；
（3）若對任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出即可；
（2）設x₁＜x₂，依據奇函數的定義只需利用作差證明f（x₁）＞f（x₂）；
（3）利用函數的奇偶性、單調性把該不等式轉化為具體不等式，然后轉化為求函數的最值問題，利用二次函數的性質易求其最大值．

解答：解：（1）由f（0）=0得b=1，由f（-1）=-f（1）得a=2．
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+2

；
（2）設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

-2x1+1

2x1+1+2

-

-2x2+1

2x2+1+2

=(

1

2x1+1

-

1

2

)-(

1

2x2+1

-

1

2

)
=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數；
（3）由函數f（x）為奇函數，得f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0?f（2k-4^t）＜f（k+1-3•2^t），
∵f（x）為R上的減函數，
∴2k-4^t＞k+1-3•2^t，
∴k＞4t-3•2t+1=(2t-

3

2

)2-

5

4

，
對任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，等價于k＞(2t-

3

2

)2-

5

4

的最大值，
∵t∈[-1，1]，∴2t∈[

1

2

，2]，
∴當2t=

1

2

時，4t-3•2t+1=(2t-

3

2

)2-

5

4

的最大值為-

1

4

，
∴k＞-

1

4

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查函數恒成立問題及二次函數在閉區間上的最值，函數恒成立問題往往轉化為函數最值問題加以解決．