Question

已知函數f(x)

a-x  ，x≤0 1  ，0＜x≤3 (x-5)2-a，x＞3

（a＞0且a≠1）圖象經過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數f（x）的大致圖象；
（2）求函數f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數q（t）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）先由x=8＞3，且點Q在函數圖象上得：6=（8-5）²-a，解得a值，最后寫出函數表達式畫出圖象即可．
（2）根據f （x ）=9，得 3^-x=9或（x-5）²-3=9，解此指數方程即得；
（3）先對t進行分類討論：當t≤-1時，當-1＜t≤0時，當0＜t≤2時，當2＜t≤3時，當3＜t 時，分別討論其單調性，最后綜合上述，函數q （t ） 的單調遞增區間是即可．

解答：解：（1）由x=8＞3，且點Q在函數圖象上得：
6=（ 8-5 ） ²-a，解得a=3．
得f （ x ）=

3-xx≤0 10＜x≤3 (x-5)2-3x＞3

（2分）
圖象如圖所示．（2分）
（2）由f （x ）=9，得 3^-x=9或（x-5）²-3=9，
解得：x=-2，或x=5 ±2

3

（負舍去）
得 x=-2，或x=5 +2

3

．（2分）
（3）當t≤-1時，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=3^-t-1-3^-t=-

2

3

(

1

3

)t，
此時，q （t ）單調遞增；
當-1＜t≤0時，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=1-3^-t=1-(

1

3

)t，
此時，q （t ）單調遞增；
當0＜t≤2時，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=1-1=0，此時，q （t ）是常數函數；
當2＜t≤3時，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=（t-4 ）²-4，此時，q （t ）單調遞減；
當3＜t 時，q （t ）=f （t+1 ）-f （ t ）=（t-4 ）²-3-（t-5 ）²+3=2t-9，此時，q （t ）單調遞增．
綜合上述，函數q （t ） 的單調遞增區間是（-∞，0]和[3，+∞]．（4分）
注：正確給出遞增區間（2分），有說明（2分）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數的零點、函數的單調性及單調區間等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．