Question

已知函數f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函數f(x)的單調遞減區間;

(2)若x＞-1,求證:1-≤ln(x+1)≤x.

Answer 1

(1)解：函數f(x)的定義域為(-1,+∞).

f′(x)=

由f′(x)＜0及x＞-1,得x＞0.

∴當x∈(0,+∞)時,f(x)是減函數，

即f(x)的單調遞減區間為(0,+∞).

(2)證明:由(1)知,當x∈(-1,0)時,f′(x)＞0;

當x∈(0,+∞)時,f′(x)＜0.

因此,當x＞-1時,f(x)≤f(0),即ln(x+1)-x≤0.

∴ln(x+1)≤x.

令g(x)=ln(x+1)+-1,則g′(x)=

當x∈(-1,0)時,g′(x)＜0;當x∈(0,+∞)時,g′(x)＞0.

∴當x＞-1時,g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,即ln(x+1)≥1-.

綜上，可知當x＞-1時,有1-≤ln(x+1)≤x.