Question

已知命題p：關于x的方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0在R上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，若命題“p或q”是真命題，P且q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q成立的等價條件，然后利用命題“p或q”是真命題，P且q為假命題，求a的取值范圍．

解答：解：方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0等價為

3

2

sin2x+

1

2

+

1

2

cos2x-a-

1

2

=0，即six(2x+

π

6

)=a，
要使x的方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0在R上有解，
則-1≤a≤1，即p：-1≤a≤1．
只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，則△=4a²-8a=0，即a=0或2．即q：a=0或2．
命題“p或q”是真命題，P且q為假命題，則p，q一真一假，
若p真q假，則-1≤a≤1且a≠0．
若p假q正，則a=2．
綜上，a的取值范圍為1≤a≤1且a≠0或a=2．

點評：本題主要考查復合命題的與簡單命題的真假應用，將命題進行等價化簡是解決此類問題的關鍵．