Question

，已知y=f（x）是定義在R上的單調遞減函數，對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，數列{a_n}滿足a₁=4，f(log3-

an+1

4

)f(-1-log3

an

4

)=1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與6n²-2的大小．

Answer 1

（1）由題設知f(log3-

an+1

4

)f(-1-log3

an

4

)=1（n∈N^*），可化為f(log3

an+1

4

-1-log3

an

4

)=f(0)．
所以有log3+

an+1

4

-1-log3

an

4

=0，
即log3

an+1

4

-log3

an

4

=1．
因此數列{log3

a1

4

}是以log3

a1

4

=0為首項，1為公差的等差數列．
所以log3

an

4

=n-1，即a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
（2）S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=4（1+3¹+3²++3^n-1）=2（3ⁿ-1），
當n=1時，有S_n=6n²-2=4；
當n=2時，有S_n=16＜6n²-2=22；
當n=3時，有S_n=6n²-2=52；
當n=4時，有S_n=160＞6n²-2=94；
當n=5時，有S_n=484＞6n²-2=148；
…
由此猜想當n≥4時，有S_n＞6n²-2，
即3^n-1＞n²．
下面由數學歸納法證明：
①當n=4時，顯然成立；
②假設n=k（k≥4，k∈N^*）時，有3^k-1＞k²．
當n=k+1時，3^k=3×3^k-1＞3k²，
因為k≥4，所以k（k-1）≥12．
所以3k²-（k+1）²=2k（k-1）-1＞0，
即3k²＞（k+1）²．
故3^k＞3k²＞（k+1）²，
因此當n=k+1時原式成立．
由①②可知，當n≥4時，有3^n-1＞n²，
即S_n＞6n²-2．
故當n=1，3時，有S_n=6n²-2；
當n=2時，有S_n＜6n²-2；
當n≥4時，有S_n＞6n²-2．