Question

已知圓P過點F(0，

1

4

)，且與直線y=-

1

4

相切．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三個頂點在軌跡M上，且點B的橫坐標為1，過點A、C分別作軌跡M的切線，兩切線相交于點D，直線AC與y軸交于點E，當直線BC的斜率在[3，4]上變化時，直線DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直線BC的方程；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可知圓心P到點F的距離與到定直線y=-

1

4

的距離相等，利用拋物線的定義可知P的軌跡為拋物線，設出拋物線的方程，根據題意求得p，則P的軌跡方程可得．
（Ⅱ）設出A，C的坐標，表示出直線AC的斜率，則其直線方程可表示出，與拋物線方程聯立消去y，利用判別式求得k的范圍，利用k表示出A，C的坐標，進而用表示出直線AC的斜率，從而可表示出直線AC的直線方程，令x=0求得y，得到E的坐標，進而求得AD的方程，同理可求得CD的直線方程表達式，聯立后求得D點坐標，則可表示出直線ED的斜率，求得其最大時，k的值，則直線BC的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）依題意圓心P到點F的距離與到定直線y=-

1

4

的距離相等，
根據拋物線的定義可知P的軌跡為拋物線，
設方程為x²=2py，p=

1

2

，所以x²=y
（Ⅱ）B（1，1），設A（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），kAC=

x12-x22

x1-x2

=x1+x2
設BC的斜率為k，則

y-1=k(x-1) x2=y

?x2-kx+k-1=0，△=k²-4k+4≥0，
又1+x_c=k，?x_c=k-1，C（k-1，（k-1）²），A(-

1

k

-1，(

1

k

+1)2)，kAC=x1+x2=k-

1

k

-2，
直線AC的方程為y-(k-1)2=(k-

1

k

-2)[x-(k-1)]，
令x=0，y=k-

1

k

，所以E(0，k-

1

k

)
AD：y-x₁²=2x₁（x-x₁）?y=2x₁x-x₁²
同理CD：y=2x₂x-x₂²，聯立兩方程得D(

1

2

(k-

1

k

-2)，

1

k

-k)kED=

k- 1 k +k- 1 k

1 2 (2+ 1 k -k)

=

2(k- 1 k )

1 2 (2+ 1 k -k)

=-4

k2-1

-k2+2k+1

=-4(1+

2

2+ 1 k -k

)
令u=

1

k

-k，則u在[3，4]上遞減，所以，當k=3時，k_ED最大為8
所以，BC的方程為y-1=3（x-1），即3x-y-2=0

點評：本題考查的考點包括：拋物線定義、導數、直線方程的多次聯立求交點、直線的斜率表達、函數的值域；本題中學生容易出現的錯誤在于：1、對于直角三角形ABC的直角頂點的判定錯誤；2、求拋物線切線方程的方法方向性錯誤；3、聯立多個方程造成的計算錯誤．