Question

（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD為異面線段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB與CD所成的角為θ，平面γ∥面α，且平面γ與AC、BC、BD、AD分別相交于點M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四邊形MNPQ的周長；
（2）求截面四邊形MNPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據兩個平面平行的性質定理，得到線與線平行，得到四邊形MNPQ是一個平行四邊形，根據成比例線段得到要用的線段之間的關系，表示出四邊形的周長．
（2）要求四邊形面積的最大值，首先表示出四邊形的面積，由MN∥AB，得MN=

x

c

a，同理MQ=

c-x

c

a，又AB與CD所成的角為θ，根據四邊形的面積是三角形面積的二倍，表示出四邊形的面積，根據二次函數的性質得到結果．

解答：解：（1）∵平面α∥面β，平面ABC∩α=AB，
平面ABC∩β=MN，
∴AB∥MN，
同理PQ∥AB，有PQ∥MN，同理NP∥MQ，
∴四邊形MNPQ是一個平行四邊形，

NP

CD

=

BP

BD

，

PQ

AB

=

DP

BD

∴

NP

CD

+

PQ

AB

=

BP+DP

BD

=1
∵AB=CD=a，
∴NP+PQ=a，即四邊形的周長是2a．
（2）設AC=c，CM=x，
由MN∥AB，得MN=

x

c

a，同理MQ=

c-x

c

a，
又AB與CD所成的角為θ，∴sin∠NMQ=sinθ
∴四邊形的面積是s=2×

1

2

•

x

c

•a•

c-x

c

•b•sinθ
=

ab

c2

[-(x-

c

2

)2+

c2

4

]sinθ
∴當x=

c

2

時，s的最大值是

ab

4

sinθ，
此時M為AC的中點．

點評：本題考查面與面平行的性質定理，考查面積的最值，本題解題的關鍵是對于求最值的問題，首先要表示出面積，再利用函數的最值的求法得到結果．