Question

已知函數f(x)=lnx,g(x)=x²+bx(a≠0).

(1)若a=-2時,函數h(x)=f(x)-g(x)在其定義域內是增函數,求b的取值范圍;

(2)在(1)的結論下,設函數φ(x)=e^2x+be^x,x∈［0,ln2］,求函數φ(x)的最小值;

(3)設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)的圖象C₂交于P、Q,過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N,問是否存在點R,使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)依題意:h(x)=lnx+x²-bx.∵h(x)在(0,+∞)上是增函數,

∴h(x)=+2x-b≥0對x∈(0,+∞)恒成立.

∴b≤+2x.∵x＞0,則+2x≥2.∴b的取值范圍為(-∞,2］.

(2)設t=e^x,則函數化為y=t²+bt,t∈［1,2］.∵y=(t+)²,

∴當≤1,即-2≤b≤2時,函數y在［1,2］上為增函數.

當t=1時,y_min=b+1.

當1＜＜2,即-4＜b＜-2時,當t=時,y_min=;

當≥2,即b≤-4時,函數y在［1,2］上為減函數,

當t=2時,y_min=4+2b.

綜上所述,當-2≤b≤2時,φ(x)的最小值為b+1.

當-4＜b＜-2時,φ(x)的最小值為.當b≤-4時,φ(x)的最小值為4+2b.

(3)設點P、Q的坐標是(x₁,y₁),(x₂,y₂),且0＜x₁＜x₂.

則點M、N的橫坐標為x=.C₁在點M處的切線斜率為k₁=.

C₂在點N處的切線斜率為k₂=+b.

假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行,則k₁=k₂,

即=+b.則=+b(x₂-x₁)

=(x₂²+bx₂)-(x₁²+bx₁)=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁=ln.∴ln==.

設u=＞1,則lnu=,u＞1.①

令r(u)=lnu,u＞1.則r′(u)=.∵u＞1,∴r′(u)＞0.

∴r(u)在［1,+∞)上單調遞增,故r(u)＞r(1)=0.

則lnu＞.這與①矛盾,假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.