Question

已知函數f（x）=x+

2a2

x

+alnx．
（I）求f（x）的單調遞增區間；
（II）設a=1，g（x）=f′（x），問是否存在實數k，使得函數g（x）（均的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據負數沒有對數求出f（x）的定義域，然后求出f（x）的導函數，分a=0，a大于0和a小于0三種情況令導函數大于0，求出相應的x的解，即可單調f（x）的單調遞增區間；
（II）把a=1代入f（x）的導函數確定出g（x），假設存在實數k，使得g（x）的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于k，可設在定義域內任意的兩個自變量x，利用斜率的計算方法表示出斜率，并大于等于k，去分母變形，然后設h（x）=g（x）-kx，求出h（x）的導函數，解出k小于等于一個函數恒成立，令t=

1

x

，設這個函數為F（t），求出F（t）的導函數，令導函數等于0，求出相應的t的值，在定義域內由t的值討論導函數的正負進而得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最小值，讓k小于等于求出的最小值即可得到k的取值范圍．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=x+

2a2

x

+alnx，∴f′（x）=1-

2a2

x2

+

a

x

=

(x+2a)(x-a)

x2

，
當a=0時，f′（x）=1＞0，所以f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
當a＞0時，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞a，所以f（x）的單調遞增區間是（a，+∞）；
當a＜0時，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞-2a，所以f（x）的單調遞增區間是（-2a，+∞）．
（II）當a=1時，g（x）=1-

2

x2

+

1

x

，假設存在實數k，使得g（x）的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于k，
即對任意x₂＞x₁＞0，都有

g(x2)-g( x1)

x2-x1

≥k，亦即g（x₂）-kx₂≥g（x₁）-kx₁，
可設函數h（x）=g（x）-kx=1-

2

x2

+

1

x

-kx（x＞0），
故問題等價于h′（x）=

4

x3

-

1

x2

-k≥0，即k≤

4

x3

-

1

x2

對x＞0恒成立，
令t=

1

x

，則F（t）=4t³-t²（t＞0），所以F′（t）=12t²-2t，
令F′（t）=0，解得t=0（舍去）或t=

1

6

，
當t變化時，F（t）與F′（t）的變化情況如下表：

故知F（t）在（0，

1

6

）內單調遞減，在（

1

6

，+∞）內單調遞增，
所以當t=

1

6

時，F（t）取得最小值，且最小值為-

1

108

，
∴當x＞0時，F（

1

x

）=

4

x3

-

1

x2

≥-

1

108

，當且僅當x=6時取等號，
故k的取值范圍是（-∞，-

1

108

]．

點評：本題考查函數、導數等基礎知識，考查了推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查了函數與方程的思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想，是一道中檔題．