Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n和S_n滿足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

an•an+1

，求{b_n}的前n項和T_n；
（3）在（2）的條件下，對任意n∈N^*，T_n＞

m

23

都成立，求整數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，知4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），由此得到（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．從而能求出{a_n}的通項公式．
（2）由（1）知b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項求和法能求出T_n．
（3）由（2）知T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），T_n+1-T_n=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）＞0，從而得到[T_n]_min=T₁=

1

3

．由此能求出任意n∈N^*，T_n＞

m

23

都成立的整數m的最大值．

解答：解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），②
①-②得
4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
∴4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
化簡得（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
（3）由（2）知T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），
T_n+1-T_n=

1

2

（1-

1

2n+3

）-

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）＞0．
∴數列{T_n}是遞增數列．
∴[T_n]_min=T₁=

1

3

．
∴

m

23

＜

1

3

，
∴m＜

23

3

．
∴整數m的最大值是7．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的數列的前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．