Question

當x＞1時，直線y=ax-a恒在拋物線y=x²的下方，則a的取值范圍是

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：當x＞1時，直線y=ax-a恒在拋物線y=x²的下方，實際上就是在x＞1時，不等式ax-a＜x²恒成立，然后把參數a分離出來，得到a＜

x2

x-1

，求出函數f(x)=

x2

x-1

在（1，+∞）上的最小值后問題解決．

解答：解：要使當x＞1時，直線y=ax-a恒在拋物線y=x²的下方，
即不等式ax-a＜x²在x＞1時恒成立，
也就是a（x-1）＜x²在x＞1時恒成立，
因為x＞1，問題轉化為a＜

x2

x-1

在x＞1時恒成立，
令f(x)=

x2

x-1

，則f(x)=

x2

x-1

=

1

-( 1 x )2+ 1 x

，
因為x＞1，所以0＜

1

x

＜1，
則-(

1

x

)2+

1

x

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

∈(0，

1

4

]，
所以f（x）_min=4．
則a＜4．
所以，當x＞1時，直線y=ax-a恒在拋物線y=x²的下方的a的取值范圍是（-∞，4）．
故答案為（-∞，4）．

點評：本題考查了函數圖象的關系問題，考查了數學轉化思想，訓練了利用分離變量法求參數的范圍，本題也可以引入輔助函數利用導數來解決，是中檔題．