Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為,拋物線上一點的橫坐標為2，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點作直線交拋物線于，兩點,求證: .

 

Answer 1

(1)(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)可利用待定系數法設拋物線方程為求解；

(2)因為是直線與圓錐曲線的相交問，可以設直線方程（斜率不存在時單獨討論），然后聯立拋物線方程和直線方程運用韋達定理結合條件來求解.

試題解析：【解析】
(1)由題設拋物線的方程為：，

則點的坐標為，點的一個坐標為，2分

∵，∴，4分

∴，∴，∴.6分

(2)設、兩點坐標分別為、，

法一：因為直線當的斜率不為0，設直線當的方程為

方程組得，

因為

所以

=0，

所以.

法二：①當的斜率不存在時，的方程為，此時

即有所以.…… 8分

當的斜率存在時，設的方程為

方程組得

所以10分

因為

所以

所以.

由①②得.12分

考點：1.拋物線的標準方程；2.直線與圓錐曲線的位置關系.