Question

設函數。
（1）判斷函數的奇偶性，并給予證明；
（2）證明：函數在其定義域上是單調增函數。

Answer 1

（1）解：是奇函數；
由，得x∈R，即所給函數的定義域為R，顯然它關于原點對稱，
又∵，
∴函數是奇函數。
（2）證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則，
令，
則


，
∵x₁-x₂＜0，，，，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，
∴，
∴f (x₁)-f (x₂)＜lg1=0，即f (x₁)＜f (x₂)，
∴ 函數f(x)在R上是單調增函數。